سلام دوستای گلم.

خوب که هستین انشائ ا...  . ای منم بد نیستم ... به مرحمت شما ...

امروز میخواستم کلی مطلب جدید  بگم ، ولی راستشو بخواین اصلا حسش نیست ...

اصلا دل و دماغ هیچ کاری رو ندارم. نمیخواستم این حرفارو اینجا، به شما بگم ، آخه همه از هنر هشتم

انتظار مطالب جدید ریاضیاتی دارن ، نه حرفای چرند منو که که در هر عطاری ببری مفت ازت نمیخرنش...

ولی خب چه کار کنم ، هیچ کس مثل شما و هنر هشتم اینقدر صبورانه به حرفام گوش نمیده

دلم گرفته ... از دیروز تا حالا تو یه دردسر بزرگ افتادم ... نمیدونم باید چه کار کنم ...

ذهنم خیلی درگیره ، هر چی فکر میکنم به هیچ نتیجه ای که نمیرسم هیچ ، تمرکزم هم کمتر میشه.

احساس میکنم کم آوردم (برای اولین بار اعتراف میکنم واقعا کم آوردم).

احساس میکنم خیلی ضعیف شدم .(آخه قبلا فکر میکردم خیلی قدرت دارم)

قدرت تصمیم گیری ندارم... مخم هنگیده ... بد جوریم هنگیده...

خیلی سخته وقتی میبینی کسی حرفتو نمی فهمه یا میخواد که نفهمه .

شاید تا فردا حالم بهتر شه . به محض اینکه حسش بیاد ، مطالبی رو که بهتون قول داده بودم، میارم.

خب دیگه ، کار ما که تموم شد (کسی حرفی نداره؟؟؟ )

ممنون که به چرندیاتم گوش دادین ، الان خیلی بهترترم .

ببخشید سرتونو درد آوردم.

دوستون دارم.... فعلا باااااااااااااای

 

 

اگر بتوانید موج مرکبی را تجزیه کنید ، در میان امواج آنالیز شده ، موج سینوسی ساده ای را مشاهده خواهید کرد که هم فرکانس با موج مرکب است ودیگر امواج حاصل از آنالیز ، فرکانسهایی متناسب با این موج سینوسی دارند .

با توجه به اینکه این مسئله تصادفی نبوده و با آزمایشات متفاوت همواره این امواج را با خصوصیات فوق الذکر شاهد هستیم ؛ برای ما این سوال مطرح میشود که علت این امر چیست ؟ چطور میتوان موج های ساده ی یک موج مرکب را تعیین کرد ؟ چرا شکل موج مرکب با امواج ساده سینوسی که آن را پدید آورده اند تفاوت دارد ؟ آیا شکل موج مرکب را قبل از ترکیب امواج ساده سینوسی میتوان تعیین کرد ؟ آیا این مسائل با ریاضیات قابل توجیه است ؟و دیگر مسائلی از این قبیل ، که می خواهم در این قسمت به آنها پرداخته شود .

قبل از شروع ، لازم به تذکر است که فقط به دلیل اینکه مقاله حاضر برای عموم عینی و ملموس تر باشد،از ابتدای بحث از سیم مرتعش برای نشان دادن مسائل مربوطه استفاده کردیم . اما تمام این مطالب برای دیگر وسایل تولیدکننده اصوات اکوستیکی مثل ستون هوا ،کاسه صدا ،زبانه و غیره نیز صدق میکند.

ترکیب امواج وشکل موج مرکب :
لزومآ شکل موج مرکب را با داشتن توابع سینوسی ساده نمیتوان نتیجه گیری کرد و آن را تابع سینوسی ساده ای مثل امواج سازنده اش دانست ؛چرا که وقتی دو موج به هم میرسند یا با هم ترکیب میشوند ، بسته به نوع ترکیبشان و شکل اولیه امواج میتوانند باعث تشدید ، تضعیف و تغییر شکل موج حاصل از تداخل شوند .

بعنوان مثال به شکل زیر دقت کنید که دو موج ساده y1 , y2بعد از ترکیب با هم ، چه شکل غیر منتظره ای را حاصل کرده اند:


همانطور که اشاره شد ،علل بسیاری در شکل موج مرکب میتوانند دخیل باشند ؛لذا فقط به ذکر چند مورد مهم اکتفا میکنیم . در شکل بالا ، پدیده ای به نام ضربان باعث شده شکل موج حاصل از تداخل با امواج اولیه فرق داشته باشد .این پدیده (ضربان یا زنش) یکی از مهمترین مواردی است که باعث میشود شکل موج مرکب شبیه به امواج اولیه نباشد .

ضربان چیست؟
در واقع از ترکیب خطی دو ارتعاش هارمونیک ساده که فرکانس نزدیک هم دارند پدیده ای بنام ضربان (Beat ) ایجاد میشود . به بیان ساده تر اگر دو موج با دامنه یکسان و فرکانسهای متفاوت داشته باشیم در موقعی که اختلاف فرکانسی اندک است ،مجموع آنها موجی است که ضربان روی آن اتفاق می افتد و آنچه میشنویم ، صدای زنش است؛ به این خاطر که دو فرکانس به اندازه نزدیک و مشابه یکدیگر هستند، هردو به یک نسبت پرده بازیلر را تحریک کرده و لذا دارای یک ارتفاع هستند.وقتی دو تن متناوبآ هم فاز و در فاز مخالف یکدیگر قرار بگیرند، ارتعاشاتی را در این پرده سبب میشوند که دامنه آن متناوبآ کم و زیاد میشود در نتیجه صوتی که میشنویم ،تن واحدی است که بلندی آن به نرمی و بصورت سیکلهای منظمی که به میزان اختلاف فرکانسی است ، تغییر میکند.

دو موج تعریف شده ، را که هر دو یک دامنه دارند(A ) با اندکی اختلاف فرکانسی(f1 و f2) بصورت زیر داریم، فرمول دو موج بخوبی بیانگر این مطلب است اما قبل از شروع عملیات ریاضی به شکل این دو موج توجه کنید :
حال به شکل پایین که از تداخل دو موج بالا پدید آمده نگاه کنید ، همانطور که ملاحظه میکنید موج حاصل از تداخل ، به هیچ عنوان شیبه امواج تولیدکننده اش نبوده و شکل یک موج سینوسی ساده را ندارد و در آن ضربان را شاهدیم.

بعد از جمع زدن دو فرمول موج و ساده کردن به فرمول کلی میرسیم که به این صورت بیان میشود :

مادامی که اختلاف فرکانسی بین دو فرکانس زیاد شود ، میزان ضربان هم بالا میرود و تا حدی که میزان 6 یا 7 ضربان در ثانیه داشته باشیم ، صوت حاصل از تداخل ، دارای نرمی و ملایمت است و اگر این روند بالاتر باشد، دیگر بلندی صوت زنش بطور ملایم تغییر نمیکند ، بلکه در فواصلی بسیار شدید شده و با افزایش این خاصیت ، زنش ناصاف و صوت خشن و ناموزون میشود؛با توجه به اینکه این پدیده توسط گوش انسان قابل درک است و در مواقعی که اختلاف فرکانسی کمی داریم ،شاهد آن هستیم،استفاده از این پدیده برای هم فرکانس کردن دو موج یا در موسیقی برای دقیق کردن کوک سازهای موسیقی بسیار حائز اهمیت و پر کاربرد است.

اختلاف فاز :
یکی دیگر از پدیده هایی که باعث میشود شکل موج حاصل از تداخل با امواج سازنده اش تفاوت کند ، اختلاف فاز امواج سازنده است؛ اگر در امواج تولید کننده ، فرکانس و طول موج و دامنه یکسان داشتیم اما فاز تفاوت داشت، به این صورت :

که در حقیقت در این نوع تداخل، فرکانس و طول موج با امواج اولیه به همان صورت اولیه باقیمانده ولی دامنه و فاز فرق میکند.به مهمترین مثالها از این دسته تداخل امواج نگاه کنید: بطور حتم در تکنولوژی صدا ، بجز ترکیب امواج ، موارد بسیاری یافت میشود که بخواهیم روی یک موج تفکیک شده کار کنیم ،چه راهی برای این مسئله وجود دارد؟ بنظر شما در اینجا چقدر میتوان روی ریاضیات حساب کرد؟

 سلام دوستای خوبم . چطوره حالتون؟

امروز میخوام درباره ی اعداد اول و روش شکار اونها براتون بگم.

چند روز پیش وارد ۲۰ سالگی شدم . داشتم با خودم فکر میکردم ۲۰ رو با ضرب چند تا عدد اول میشه ساخت؟

اگه بخواهیم اونو با ضرب کوچکترین اعداد اول بسازیم       ۵*۲*۲      بدست میاد که یه بی نظمی داره یعنی به جای ۲ وسطی باید ۳ باشه که اونجوری حاصل ۳۰ میشه    یعنی باید ۱۰ سال دیگه صبر کنم  تا بتونم به جای این ۲ ، ۳ رو جایگزین کنم .

راستی به نظر شما این عدد وسطیه تا چند تا عدد اول به من فرصت زندگی میده ؟

امیدوارم فرمول سالهای زندگی شما از فاکتوریل حساب بشه (فاکتوریل یه عدد بزرگ مثل ۱۰۰۰۰۰۰۰ ).

اعداد ، بویژه اعداد اول خصوصیات جالبی دارند .با شناختن برخی از این ویژگیها به زیباییها و نظم ریاضیات  پی میبریم و با شناخت عمیق ریاضی به قدرت خالق بزرگ ریاضی.

کل جهان هستی بر پایه ی  قوانین ریاضی ساخته شده. (اصلا به نظر من اگه پیامبران به جای تحمل

 اونهمه رنج و سختی ، یه ذره ریاضی به مردم قومشون درس می دادند و از ویژگی های اعداد برای اونها

میگفتن ، مردم زودتر خدا رو می شناختن و بیشتر ایمان می آوردن.) 

اما ماهیت ریاضی چیه ؟؟؟

کل ریاضیات از اعداد ساخته شده.

    اعداد سرچشمه ی کل ریاضیات هستند.        "هرمان مینکوفسکی"

بگذریم. همانطور که گفتم ، میخوام در مورد روشهای شکار اعداد اول براتون بگم ... امیدوارم خوشتون بیاد و استفاده های لازم را از این مطالب ببرید.

موضوع: نظريه اعداد

عنوان: روشي براي شكار اعداد اول 

 

اعداد اول اعداد بسيار زيبا و جذابند و در عين حال معماي حيرت انگيز و سرگردان‌كننده اي را در برابر رياضي دانان مطرح ساخته اند. تعريف اين اعداد كاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن كاملابي‌نظم و فاقد قاعده به نظر مي‌آيد و هرچه شمار بيشتري از آنها شكارمي‌شوند، كار شكار عدد بعدي دشوارترمي‌شود طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاسته‌اند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعت‌ترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نمي‌توانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند. بطوريكه اگر چندين ميليون بار به سرعت كامپيوتر هاي كنوني افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترين عدد اولي كه تا به حال شناخته شده افزوده مي‌گردد. رياضي دانان در آرزوي دست يافته به روشي هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به يافتن اعداد اول توفيق يابند و يا اگر با عددي هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آيا عدد اول است ؟ يك گروه از رياضي مي‌كند. اين آزمون دانان هندي مدعي شده‌اند كه در آستانه دستيابي به همان آزموني هستند كه رياضي دانان قرنها مشتاقانه در آرزويش بوده اند. مانيندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawalو دانشجويانش نيراج كايال‪Neeraj ‪Kayalو نيتين سكسنا ‪ Nitin Saxenaدر موسسه تكنولوژي كانپور مدعي شده‌اند كه در آستانه تكميل آزموني هستند كه اول بودن يا نبودن هر عدد طبيعي را با سرعت مشخص در صورتي كه تكميل شود مي‌تواند تبعات و نتايج بسيار گسترده‌اي براي جهان كنوني به بار آورد. جالب به نظر ميرسد كه بدانيد: درحال حاضر بسياري از معاملات تجاري و نقل و انتقالات مالي و نيز مبادله اطلاعات محرمانه از طريق شبكه هاي مخابراتي مانند اينترنت و با بهره گيري از رمز كردن پيامها به انجام مي‌رسد. اعداد اول در تنظيم اين قبيل رمزها نقشي اساسي بر عهده دارند و از همين رو دستيابي به اعداد اول جديد كه ديگران از آن بي‌خبر باشند براي سازندگان اين رمزها و نيز مشتريان آنان از اهميت زياد برخوردار است. اما اگر روش اين محققان هندي تكميل شود در آن صورت امنيت اين قبيل نقل و انتقالات در معرض خطر جدي قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن رياضي دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پيش باز مي گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱كارل گائوس از بزرگترين رياضي دانان اعلام كرد كه مساله تشخيص اعداد اول از اعداد غير اول يكي از مهمترين مسائل حساب به شمار مي‌آيد. اعداد اول به يك معنا همان نقشي را در سلسله اعداد بازي مي‌كنند كه اتمها در ساختار بناي كيهان دارند- اين اعداد سنگ بناي ناپيداي ديگر اعداد محسوب مي‌شوند. يكي از عادي‌ترين راههاي شناسايي اعداد اول تقسيم آن به ديگر اعداد است. از طرف ديگر با اندكي تامل روشن مي‌شود كه اعداد زوج عدد اول نيستند زيرا همگي بر ‪ ۲قابل قسمتند. اعدادي كه بتوان جذر آنها را به دست آورد نيز اول نيستند. اما اين روشها براي شناسايي اعداد اول بزرگ به كلي بي‌فايده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولي داراي ‪ ۱۰۰رقم باشد در آن صورت كل عمر باقيمانده از كيهان بر اساس نظريه هاي جديد كيهانشناسي نيز براي مشخص كردن اول بودن يا نبودن اين عدد با اين شيوه هاي متعارف كفايت نمي‌كند. بنابراين رياضي دانان به سراغ روشهاي ديگر رفته‌اند. مهمترين سوال در مورد همه اين روشها آن است كه با چه سرعتي مي‌توانند يك عدد اول را مشخص كنند و با ازدياد ارقام عدد اول زمان لازم براي محاسبه چه اندازه طولاني تر مي شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتي از شمار ارقام عدد ازدياد شمار آورده يابد در آن صورت اين روش روش قابل قبولي به  شمار آورده می شود. به این نوع روشها که زمان در آنها به صورت توانی افزوده می شود "روش توانی" می گویند.

روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش می یابد روشهای غیر توانی نام دارند. به عنوان مثال روش تقسیم معمولی یک روش غیر توانی برای یافتن اعداد اول است.  

در سال ‪ ۱۹۵۶منطق‌دان برجسته آلماني كورت گودل اين پرسش را مطرح ساخت كه آيا مي‌توان اين نوع روشهاي تقسيم را بهبود بخشيد. تلاش خود او نهايتا به كشف شماري از روشهاي عملي براي يافتن اعدادي به بزرگي ‪ ۱۰۰رقم يا بيشتر منجر شد. همه اين روشها احتمالاتي هستند و بنابراين در مواردي پاسخ غلط به دست مي‌دهند هرچند كه اين موارد بسيار نادرند. در سال ‪ ۱۹۸۳روشي كشف شد كه بسيار نزديك به روشهاي تواني بود. اين روش كه به وسيله سه رياضي دان به نامهاي لئونارد آدلمن از دانشگاه كاليفرنياي جنوبي، كارل پومرانس از آزمايشگاهاي بل در موري هيل نيو جرسي، و رابرت روملي از دانشگاه جورجيا كشف شد به نام خود آنان به روش آپي آر ‪ APRشهرت يافت. در اين روش زمان محاسبه يك عدد داراي ‪ dرقم براي است با ‪.(d)ln ln d در اين فرمول (‪ (ln ln d)به معناي لگارتيم لگاريتم ‪ dاست. به لحاظ فني اين روش غير تواني است زيرا توان آن ثابت نيست و زياد مي‌شود. اما سرعت اين ازدياد بسيار بسيار كند است. يعني به ازاي ‪ d ="10100ميزان" ازدياد اين توان تنها ‪ ۵.۶مرتبه است. رياضي دانان به شوخي مي‌گويند كه ثابت شده اين توان به سمت بينهايت ميل مي‌كند اما چنين چيزي در عمل مشاهده نشده است. سوالي كه براي رياضي دانان مطرح است آن است كه آيا مي‌توان به روشي دست يافت كه به معناي دقيق و فني كلمه روشي تواني باشد. هيچ كس تصور نمي‌كرد كه احتمال چنين موفقيتي وجود داشته باشد تا اينكه گروه آگراوال ادعا خود را مطرح كرد.ايده انقلابي اين سه تن در سال ‪ ۲۰۰۲و زماني كه كايال و سكسنا هنوز دانشجوي دوره ليسانس بودند مطرح شد. در ابتداي سال جاري يك روايت بهبود يافته از روش پيشنهادي اين سه كه به آلگوريتم آ.ك.اس شهرت يافته در نشريه "آنالز او متمتيكس ‪ "Annals of Mathematicsانتشار يافت. اين آلگوريتم از نوع روشهاي تواني است و علاوه برآن بسيار ساده است (لااقل براي رياضي دانان چنين است). اين روش از اعقاب يك روش آزمون قديمي موسوم به قضيه كوچك پي‌ير فرما است. اين قضيه را نبايد با قضيه اصلي فرما كه چند سال قبل پس از ‪ ۳۰۰سال اثبات شد اشتباه كرد. اين قضيه مبتني بر نوعي حساب متكي به قدر مطلق ‪modularموسوم به "حساب ساعت ‪ "clock arithmeticاست علت آن تست كه در اين روش اعداد به شكل اعداد روي صفحه ساعت جمع مي‌شوند. براي آشنايي با اين حساب خاص مورد زير را در نظر بگيريد. يك عدد دلخواه انتخاب كنيد و آن را قدر مطلق ‪ modulusبناميد. در مثال ساعت، اين عدد خاص كه قدر مطلق ناميده مي‌شود و مبناي محاسبه قرار مي‌گيرد، عدد ‪ ۱۲است. حال در هر نوع محاسبه رياضي با اعداد صحيح براي تبديل آن سيستم عددي به سيستم عددي قدر مطلق ‪ ۱۲كافي است بجاي همه مضارب صحيح عدد ‪ ۱۲عدد صفر قرار داده شود. همه اعداد ديگر بر همين اساس تغيير مي‌كنند. مثلا عدد ‪ ۲۵برابر است با ‪ ۲۴۱بنابراين عدد ‪ ۲۵در اين سيستم قدر مطلق برابر است با "‪ ۱به قدر مطلق ‪ 12"سيستمهاي حساب متكي به قدر مطلق به تعريفي كه ذكر شد سيستمهاي زيبايي هستند زيرا در آنها همه قواعد حساب متعارف كار مي‌كند و درعين حال برخي از اعداد غيرصفر درآن ناپديد مي‌شوند. قضيه كوچك فرما مي‌گويد اگر يك عدد اول را به عنوان قدر مطلق انتخاب كنيد ، داراي يك مشخصه ويژه خواهد بود. اين مشخصه عبارت از آن است كه يك فرمول خاص يعني ‪ a)p-1)در اين سيستم همواره برابر يك خواهد بود. در اين فرمول ‪ pعبارت است از عدد اولي كه به عنوان قدر مطلق انتخاب شده و ‪aهر عدد ديگر است كه ضريب ‪ pمحسوب نمي‌شود. اگر مقدار فرمول بالا برابر يك نباشد آنگاه عددي كه به عنوان عدد اول تصور كرده بوديد يعني ‪ pعدد اول نيست. به اين ترتيب مي‌توان از اين قضيه كوچك فرما به عنوان مبنايي براي تدوين آزموني جهت تعيين اعداد اول استفاده كرد. اين آزمون كاملا بي‌نقص نيست زيرا شماري از اعداد غير اول نيز از غربال آن رد مي‌شوند. اما مي‌توان روايت هاي پيچيده تر و دقيق تري از اين آزمون را توليد كرد كه بسادگي به اعداد غير اول اجازه ورود ندهند. يك نمونه پيشرفته از اين آزمونها همان روش "آ.پي.آر" است كه در بالا اشاره شد. گروه آگراوال از همين قضيه كوچك فرما استفاده كرد اما آن را به نحو ديگري بسط داد. اين گروه به عوض آنكه با اعداد كار كنند از چند جمله‌اي‌ها استفاده كردند. چند جمله‌اي‌ها عباراتي جبري هستند نظير (‪ .a + b(2ايده استفاده از اين روش محصول كوشش آگراوال در دوراني بود كه بر روي رساله دكتري خود كار مي‌كرد و به اتفاق استاد راهنماي خويش "سومنات بيسواس" در سال ‪ ۱۹۹۹مقاله- اي را به چاپ رساند كه در آن يك روش آزمون اعداد اول پيشنهاد شده بود كه از همين چند جمله‌اي‌ها استفاده مي‌كرد و به شيوه احتمالاتي محاسبات را انجام مي داد. آگراوال بر اين باور بود كه مي‌تواند اين روش پيشنهادي را دقيق‌تر و عنصر احتمالاتي آن را حذف كرد.

 

  در سال ‪ ۲۰۰۱دو تن از دانشجويان او يعني كايال و سكسنا به يك نكته بسيار حساس و فني توجه كردند. ابتدا اين مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهاي عميق نظريه اعداد غوطه ور شوند، اما اندك اندك برايشان روشن شد كه تنها يك مانع در راه تكميل روشي جهت آزمودن دقيق و سريع اعداد اول وجود دارد. مانع از اين قرار بود كه روش آنان تنها در صورتي كار مي‌كرد كه عدد اول مورد نظر كه با ‪ pنمايش داده مي‌شود همواره در محدوده خاصي جاي داشته باشد كه با اعدادي كه در آزمون شركت داده مي‌شوند مرتبط باشد. مشخصه ويژه اين مانع آن است كه عدد " ‪ p-1 " بايد يك مقسوم عليه يا بخشياب بسيار بزرگ باشد. گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ‪ ۱۹۸۵يك رياضي‌دان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ‪ ۱۱اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد. اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر مي‌توان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲ازدياد پيدا مي كرد. در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ‪۱۰۷.۵كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰باشد. اعدادي تا اين اندازه بزرگ در حافظه هيچ كامپيوتر جاي نمي‌گيرند و حتي آن را نمي‌توان در كل كيهان جاي داد. اما حال كه رياضي دانان توانسته‌اند يك طبقه خاص از آلگوريتمهاي تواني را براي شناسايي اعداد اول مشخص كنند، اين امكان پديد آمده كه به دنبال نمونه‌هاي بهتر اين روش بگردند. پومرانس و هندريك لنسترا از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي با تلاش در همين زمينه توانسته‌اند زمان لازم براي محاسبات را از توان ‪ ۷.۵به توان ‪ ۶كاهش دهند. اين دو از همان استراتژي كلي گروه هندي موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتيهاي ديگري را به كار گرفتند. اگر فرضيه‌هاي ديگري كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآيد آنگاه مي‌توان زمان محاسبه را از توان ‪ ۶به توان ‪ ۳تقليل داد كه در اين حد اين روش كارآيي عملي پيدا خواهد كرد. در اين حالت يافتن اعداد اول با ‪ ۱۰۰۰رقم يا بيشتر به بازي كودكان بدل خواهد شد. اما در نظر رياضي‌دانان مهمترين و جالبترين جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشي است كه آنان به كار گرفته‌اند. اعداد اول براي رياضيات از اهميت بنيادين برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ويژگيهاي آنها باعث مي‌شود خللهاي بزرگ در بناي رياضيات پديدار شود. روش اين سه رياضي دان هندي هرچند اين خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به رياضي دانان گفته است كه در كجا به دنبال اين خللها بگردند. آلگوريتم پيشنهادي اين سه محقق و همه انواع بديلي كه بر اساس آن ساخته شده متكي به وجود اعداد اولي با مشخصه هاي ويژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از اين روش مستلزم آن است كه رياضي دانان اطلاعات دقيقي از نحوه توزيع اين قبيل اعداد اول خاص در ميان ديگر اعداد به دست آورند و به اين ترتيب جغرافياي مكاني اعداد اول را مشخص سازند. روش پيشنهادي آ ك اس به رياضي دانان اين نكته را آموخته كه ويژگيهاي اين جغرافياي مكاني حائز اهميت است و نيز اين كه هنوز دانش كافي در اين زمينه به دست نيامده است. در گذشته و در زماني كه نظريه اعداد تنها مورد توجه يك گروه كوچك از رياضي دانان بود ، اين مساله چندان اهميتي نداشت. اما در ‪ ۲۰سال گذشته اعداد اول موقعيتي استثنايي در عرصه رمز نگاري و دانش طراحي و شكستن رمزها كسب كرده اند. رمزها صرفا از نظر نظامي و جاسوسي حائز اهميت نيستند بلكه از آنها در عرصه هاي تجاري و نيز فعالييتهاي اينترنتي در مقياس وسيع استفاده به عمل مي‌آيد. هيچ كس نمي‌خواهد كه راهزنان اينترنتي به اطلاعات شخصي مربوط به حسابهاي بانكي يا شماره كارتهاي اعتباري آنان دست يابد. هم اكنون دزدي مشخصات شناسنامه اي افراد و جعل هويت آنان به صورت يكي از بزرگترين قلمروهاي فعالييتهاي تبهكارانه در سطح بين‌المللي در آمده است. سازندگان كامپيوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اينترنتي با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسياري از فعاليتهاي خود را از طريق اينترنت انجام مي دهند، نظير اينكه پول قبضهاي برق و آب و تلفن خود را مي‌پردازند يا در كلاسهاي مورد نظر ثبت نام مي‌كنند، يا بليت هواپيما و قطار رزرو مي‌كنند، در تلاشند تا از خطر دستيابي تبهكاران به اطلاعات شخصي افراد جلوگيري به عمل اورند. يكي از مهمترين سيستمهايي كه در اين زمينه مورد استفاده صنايع است سيستم آر اس آ نام دارد كه متكي به اعداد اول است. اعداد اول مورد استفاده در اين سيستم در حدود ‪ ۱۰۰رقمي هستند. سيستم آر اس آ در بسياري از سيستمهاي كامپيوتري مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلي براي ارتباطات امن اينرتنتي نيز گنجانده شده است و بسياري از دولتها، شركتهاي بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده مي‌كنند. جواز استفاده از اين سيستم براي بيش از ‪ ۷۰۰شركت صادر شده و بيش از نيم ميليون كپي از آن در سطح جهاني مورد استفاده قرار دارد. براي شكستن رمز آر اس آ بايد مضراب اعداد ‪ ۲۰۰رقمي يا بزرگتر را پيدا كنيد. هرچند فاكتور گيري يا عامل مشترك گيري از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما اين دو مساله با يكديگر ارتباط دارند و رياضي دانان از يك ابزار براي حل هر دو مساله استفاده مي‌كنند. همه اين جنبه‌ها بر اهميت كشف هر روشي براي محاسبه اعداد اول مي‌افزايد. در سال ‪ ۱۹۹۵زماني كه پيتر شور از آزمايشگاههاي بل اثبات كرد كه مجموعه- اي از آلگوريتمهاي تواني براي فاكتور گيري وجود دارد، لرزه بر اندام بسياري افتاد. اما خوشبختانه براي استفاده از اين آلگوريتم به كامپيوترهاي كوانتومي نياز است كه هنوز در مرحله تكميل تئوريك قرار دارند. اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سيستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون اين نكته را نشان داده كه مي‌توان با كامپيوتر هاي معمولي، اعداد را از حيث اول بودن مورد آزمايش قرار داد. سوالي كه اينك مطرح شده آن است كه آيا الگوريتم مشابهي كه به صورت تواني كار كند براي فاكتورگيري اعداد غيراول نيز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به اين پرسش منفي است اما متاسفانه اين متخصصان همين حرف را در مورد آلگوريتم تواني مربوط به اعداد اول نيز مي‌زدند در حال حاضر رياضي دانان واقعا مطمئن نيستند كه كه آيا چنين آلگوريتمي يافت مي‌شود يا نه. اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سيستم آر اس آ ديگر از امنيت برخوردار نيست. يك عامل تخفيف‌دهنده نگرانيها آن است كه از سيستم آر اس آ براي انتقال همه محتواي پيامها استفاده نمي‌شود بلكه صرفا "كليد هاي رمز" را كه اندازه شان كوچك است با اين سيستم انتقال مي‌دهند. براي انتقال بقيه پيام از روشهاي رمزنگاري متعارف بهره گرفته مي‌شود. به اين ترتيب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كليد رمزها دست يابند. به اين ترتيب درسي كه از موفقيت گروه سه نفره هندي گرفته مي‌شود آن است كه بايد با احتياط در ارسال پيامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، آنگاه ديگر نمي‌توان به ايمن بودن ارتباطاتي كه روي اينترنت برقرار مي‌شود اطمينان داشت.

 

 

می‌خوام یک روش جالب بگم برای کشیدن بیضی.   

 همه‌ی ما در مدرسه اون روش معروف را که به دو میخ و یک نخ نیاز داره، بلدیم. به نظر من اون روش

خیلی احمقانه هست. چون یا باید میخ را بکوبید در میز یا این که به سه دست نیاز دارید تا بتونید یک

 بیضی بکشید. در این روشی که می‌خوام بگم، فرض کنید می‌خواهید یک بیضی با قطر بزرگ a و قطر

 کوچک b بکشید. یک مستطیل به طول a و عرض b بکشید. بعد طول و عرض مستطیل را به n قطعه‌ی

مساوی تقسیم کنید. بعد با ترتیب خاصی نقاط را به هم وصل کنید. از تقاطع نقاط یک بیضی در میاد.

شکل زیر یک مثال را نشان می‌ده. طول و عرض مستطیل را ۴ قسمت کردم. بعد نقاط را شماره‌گذاری

کردم و نقاط با شماره‌های مساوی را به هم وصل کردم. از تقاطع نقاط یک نیم‌بیضی با قطر بزرگ a و قطر

 کوچک b/2 در آمد.

چه کسانی برای اولین بار در تاریخ حرف حساب زدند؟!

 

 

جملات زیر، بخشی از مکالمات انسانهای نخستینی است که در غاری د ور هم جمع شده اند تا برای اولین بار حرف حساب بزنند !

 

در ابتدای جلسه با توجه به اینکه  هنوز اصول شمارش ابداع نشده ،  مقرر شد  کسی که زودتر از دیگران شروع به صحبت کردن می کند ، نفر اول باشد و بقیه ، نفرات بعدی!  بنا بر این نفر اول در حالی که گلوی خود را صاف می کرد شروع به صحبت کرد و حرفهای حسابیش باعث شد تا همه حسابی گوش کنند:

 

-         ببينيد دوستان ! مشكلي كه مي خواهم با شما در ميان بگذارم به نوعي مشكل همه ماست. حتما خودتان مي دانيد كه من قرار است از همسر آینده ام خواستگاري كنم…مشكل اينجاست كه مي ترسم او در مراسم خواستگاري ،يكوقت از من راجع به تعداد اعضاي خانواده ام بپرسد در حالي كه من هيچ جوابي براي اين سوال ندارم. البته هيچكس ديگر هم در اينجا پاسخي براي اين سوال ندارد و من نمی دانم آنها با چه کلکی ازدواج کرده اند.. بنا بر اين به نظرم تا دير نشده بهتر است علم حساب و قوانين شمارش را كشف كنيم . باور كنيد پدر و مادرهاي بسياري را مي شناسم كه بزرگترين آرزويشان اينست بدانند چند تا بچه دارند.

 نفر بعدی که خیلی ذوق زده به نظر می  رسید و  سخت تحت تاثير قرار گرفته بود ، گفت:

-         آفرين! تا الان نميدانستم چيزي كم دارم چون اصلا تفریق بلد نبودم  اما همين الان فهميدم هر جه مي كشم از همين ندانستن علم حساب است. راستش الان چند وقتي ميشود كه يك نامرد، آخر شب و به طور كاملا مخفيانه  از توي غاركينگ اختصاصيم دایناسورهایم را مي دزدد اما چون نمي دانم كه در اصل چند تا دایناسور داشته ام و حالا چند تا كم شده، نمي توانم پيش آكروپليس از كسي شكايت كنم. فکر کنم اگر حساب بلد بودم مي توانستم حساب ديفرانسيل دزد را برسم. ضمنا چون خیلی پیر شده ام  و توانم را از دست داده ام خواهش می کنم هر چه سریعتر با کمک ریاضی  مرا به توان برسانید!
نفر بعدی که خیلی آدم خوش نامی نبود ، گفت:  آخ من می میرم برای اعداد منفی! راستی نمی شود  به جای حرف حساب از  حق حساب صحبت کنیم؟! ... در مجموع  من با کشف قوانین شمارش موافقم چون در این صورت می توانم محاسبه کنم که چطور می شود  صدي _ ده به ديگران نزول داده و با اين كار خون بدهكارانم را در شيشه كنم.  در ضمن ، کلاس عملي جبر با من  ، چون مي خواهم تمام معادلات را بر هم بزنم.
البته هنوز حرفهایش تمام نشده بود که ضمن كوچك شمردن بقيه ، اينگونه هشدار داد: از الان گفته باشم كه با كشف اعداد باز هم كسي براي من عددي نيست و هيچكس را آدم حساب نخواهم كرد . بهتر است حد خودتان را بشناسيد تا رويتان را كم نكنم.
از آنجایی که در ابتدای تاریخ زنها هم در تصمیم گیری شرکت داشتند ، یکی از زنهای حاضر در جلسه گفت :

-         به اين شرط با ریاضی موافقم که از این به بعد  با كمك رياضي، كارهاي غار تقسيم شده و جمع كردن سفره با مرد ها باشد . ضمنا  مردها  موظف باشند تا در اولین فرصت  به ضرب  سکه برای زنهایشان اقدام کنند.
سخنران بعدی در موافقت صحبت كرد: به نظر من علم شمارش از نظر اقتصادي هم مفيد است چون از اين به بعد مي توانيم خود را قاطي آدميزاد شمرده و از حقوق بشر برخوردار شويم. اينطور كه من شنيده ام حقوقش بد نيست و خرجي ما را در مي آورد.  در ضمن ،به نظر من اگر اعداد را از 18 شروع کنیم بهتر است چون در این صورت هر کس به محض تولد ، هم می تواند به سربازی برود ، هم در انتخابات شرکت کند و هم گواهینامه بگیرد.
نفر بعدی ، دختری بود که  ريشه اصلي مساله رشيدگي خود را مشتق از نبود اعداد مي دانست :

-         فكر كرده ايد من براي چه تا بحال قسمتم نشده كه خواستگاري داشته باشم؟هان؟... خب همه اش بخاطر اينست كه تا بحال كسي نمي توانسته پيش ديگران از من تعريف كند و بگويد قيافه ام شبيه ماه شب چندم است و يا از چند انگشتم هنر مي بارد… حالا که اینطور است خواهش می کنم هر چه سریعتر اعداد 3 و 4 رقمی را  اختراع کنید تا بتوانم از آنها برای تعیین تعداد سکه های مهریه خود استفاده کنم و لااقل این بهانه را بیاورم که مهریه ام بالا بوده!
نفر بعد که به ورزش علاقه زیادی داشت گفت : متاسفانه تا بحال هميشه در مسابقات رالي ماموت سواري زود تر از ديگران به خط پايان مي رسيدم اما چون نمي دانستم چندم شده ام ،بعضی ها حقم را مي خوردند. پيشنهاد مي كنم كه براي اختراع اعداد از نود شروع كنيم تا بتوانم حقم را در برنامه نود بگيرم.
افشاگري او بد جور به همان فردی که خیلی خوشنام نبود برخورد :

-          حالا كه اينطور زبان درازي مي كني ،  با راديكاليسم چنان حسابت را مي رسم تا حساب كار حسابی دستت بيايد !

وقتی آن دو  با استفاده از علم فیزیک و  قانون دوم نیوتن به درگیری فیزیکی روی آوردند همه جلسه را ترک کردند و در همین لحظه بود که علم حساب متولد شد . چون مشخص شد در هنگام دعوا و مشکلات نمی شود روی دیگران حساب کرد!!

 

 

 سلام دوستای گلم  

حالتون که خوبه انشاا...

ببخشید یه کم دیر اومدم .راستی سال نوتون مببببببببببببببببببببارک 

قر نزنید دیگه خودم عمدا دیر تبریک گفتم . می خواستم جدید باشه.

درسا در چه حالند؟  بعد عید که تنبل نشدین؟

راستی شما در مسابقات دانشجویی شرکت نکردین. این روزا توی دانشگاه ما  اتیش

 این مسابقات داغ داغه .

به هر حال برای تمام دوستانی که در این مسابقات شرکت میکنن ارزوی موفقیت

 دارم.          خوب دیگه فعلا خدا حافظ همتون  .

کسی که با ریاضیات آشناست و ذهن خود را با روشهای ریاضی آشنا

      کرده است، در هر گام و هر اقدام خود، ناخودآگاه از

             روشهایی در اندیشیدن استفاده میکند

                      که در ریاضی یاد گرفته

                                است...

                                

                                                                   هانس فریدنتال

 ۱۳ ***   یک عدد جادوگر  

اگر از كوچه پس كوچه‌های قديمی شهرآنجايی كه هنوز رگه‌هايی از خانه‌های قديمی كاهگلی يافت می‌شود گذر كنيم هنوز هم پلاكهای خانه‌هايی را می توان ديد كه روی آن 1+12 به جای سيزده نوشته شده است، علت آن را در اعتقادات مردم می توان يافت تحت اين عنوان:
نحس بودن 13 !
آنچه در ادامه خواهيد خواند جادوی 13 است كه به نظر جالب می رسد !!!
● 13 عدد اول است.
● 1-13^2 عدد اول مرسن است. 
13جسم ارشميدسی موجود است. (اجسام ارشميدسی اجسامی هستند كه وجوه آنها چند ضلعی بوده، نه لزوما از يك نوع ، و كنجهای آنها مساوی هستند.) 
عدد 13كوچكترين Emirp است. (Emirp عدد اولی است كه اگر ارقام آن را معكوس كنيم مجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)
● 169=2^13 بامعكوس كردن ارقام آن داريم: 961="2^31 يعنی رقم های آن مجددا معكوس می شود."
●2^13، 1+!12 را عاد مي‌كند.
● 13عدد Happy است.(برای دانستن اين كه عددی Happy است، مجموع مربعات رقمهاي عدد را پيدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌كنيم با ادامه اين روند اگر به عدد 1 دست پيدا كرديم آنگاه به آن عدد Happy گفته می‌شود. مثلا برای عدد سيزده 10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراين13" عدد Happyاست.)
● 13نيمی از 3^3+ 3^1- است.
●شاخه زيتونی كه در پشت دلارهای آمريكا كشيده شده است 13 برگ دارد.
●2^13عدد !(1 -13)+ 1را عاد می‌كند بنابراين يك عدد اول ويلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اول p كه،p و p^2، مقدار p-1)!+1 ) را عاد كنند، عدد اول ويلسون ناميده می‌شود. مثلا عدد 5 عدد ويلسون است. تنها اعداد شناخته شده 5 و 13و 563 است .)
●چرتكه چينی دارای سيزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.
● 13بزرگترين عدد اولی است كه می تواند به دو عدد متوالی به صورت n^2+3 افراز می شود.(آيا می توانيد اثبات کنيد؟)
● 1+13- 13^13 عدد اول است.
● نخستين حفره‌ی اول با طول سيزده بين دو عدد 113و 127اتفاق می‌افتد. (منظور از حفره‌ی اول تعداد اعداد مركب بين دوعدد اول متوالی است.)
● 13 كوچكترين عدد اول جايگشت‌پذير (Permutable Number) است. ( اين اعداد، اعداد اولی حداقل با دو رقم مجزا هستند كه با تجديد آرايش در رقم هايشان همچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد 337 ، 733 و 373 و 337 عدد اول است از ديگر اعداد از اين قسم می‌توان به 13,17,37,79,113,119و جايگشتهای آن اشاره كرد.)
● هشت عدد اول ديگر می‌تواند به وسيله تغيير يك رقم از 13 توليد شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}
● نخستين بار پرچم امريكا 13 ستاره و 13 خط داشت كه نشان دهنده تعداد مستعمرات اصلی اين كشور بود.
● عدد 13 كوچكترين عددی است كه ارقام آن در پايه چهار معكوس 13 است. ( 13 در پايه چهار 31 است.)
● رويه‌ی بيضوی روی اعداد گويا كه دارای نقطه‌ی گويا از مرتبه‌ی 13 باشد موجود نيست.
● 2^13= 19+...+8+7
● عدد 2^13توسط مربعات مجزای اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بيان می‌شود.
●طولانی ترين ركورد پرواز يك جوجه 13 ثانيه است.
سيزدهمين روز از فروردين شايد تنها بهانه‌ايی باشد برای گذر از ازدحام شهر و رفتن به طبيعت، اما خوب می‌دانيم اينبار نيز از نحوست 13 فرار می كنيم.
اما 13 برای شما تنها ياآور نحسی آن است؟
●131211109876543212345678910111213عدد اول است.
● معكوس عدد 2^13 عددی اول است.
● ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE(عبارت فوق تحريفی از حل معادله‌ی 13 است.)
● 13كوچكترين عدد اولی است كه از مجموع مربعات دو عدد اول مجزا يعنی 2^3+2^2 بدست می آيد.
●اقليدس و ديافانتی هر كدام 13 كتاب نوشته‌اند.
●با به كار بردن نخستين سه عدد اول داريم : 13="5+3^2
●فيلم" 13 نوامبر" ، آلفرد هيچكاك هيچگاه به پايان نرسيد.
●مجموع نخستين 13عداد اول برابر 13 امين عدد اول است.
●رساله 13 جلدی Almagestبزرگترين كار بطلميوس بود. قضيه‌ی رياضی را با توجه به حركتهای ماه ،خورشيد و سياره ها را فراهم ساخت.
● مجموع باقی مانده های حاصل از تقسيم عدد 13 برنخستين اعداد اول تا 13 برابر 13 است.
● 13كوچكترين عدد اولی است كه مجموع ارقام آن مربع است.
●13كوچكترين عدد اولی است كه به شكل p^2+4( كه p اول است) نوشته می شود.
● اويلر 13 فرزند داشت كه 5 فرزند او به سن نوجوانی رسيده و تنها 3 نفر باقی ماندند.
● مجموع توانهای چهارم نخستين 13عدد اول به علاوه‌ی عدد يك ، عددی اول(6870733) است.
● 13 كوچكترين عدد اول Sextanاست اين عدد برابر است با :
(p = (x^6+y^6)/(x^2+ y^2

● اگر برای عدد اول pداشته باشيم:p-1)!="-1 " mod p^2 ) آن عدد، عدد ويلسون است. ( تنها اعداد شناخته شده 5 ،13 و 563 است.)
● (13+1)13-13^(13+1) عددی اول است.
● بد يمن بودن روز جممعه ايی كه 13امين روز ماه باشد يكی از خرافات رايج در جوامع است.
●13كوچكترين عدد اولی است كه به صورت مجموع مجزا از اعداد اول به شكل 4n+3نيست.
●به طور طعنه آميز گفته می شود كه : 13 ، 15 امين عدد خوشبختی است.
●13بزرگترين عدد اول فیبوناچی است كه(13)Fاول است.
13 از متصل شدن دو عدد نخست مثلثی ساخته می‌شود.( 1, 1+2, 1+2+3 ... اعداد مثلثی هستند.)
● مجموع نخستين 13 عدد اول 238كه مجموع ارقامش 13 است
● .به طور طبيعی هر سال 12 ماه دارد اما در حقيقت 13 ماه داريم تعجب نكنيد ماه آسمان را فراموش كرديد با دوازده ماه سال 13 می شود.
● 13="2^3+1^3+0^3
● كوچكترين عدد اولی است كه به صورت مجموع دو عدد اول ( 2+11) نمايش داده می‌شود و همچنين كوچترين عدد اولی است كه به صورت مجموع دو عدد مركب (4+9 ) نوشته می‌شود.
● 13بزرگترين عدد اول مينيمال در پای 3 است.
● 13/13333333333333 عدد اول است. (توجه كنيد كه تعداد ارقام 3 بعد 1 ، 13 عدد است.)
● 13="3+7+3(توجه" كنيد كه3^13="(7+3)+7^3)
● 0^10+2^10+3^10+5^10+7^10+11^10+13^10عدد" اول است كه بزرگترين عدد اول نا تيتانيك (Titanic Number) است. ( NumberTitanicاعداد اولی هستند كه تعداد ارقام آن بيشتر از 1000 است.)
● 13-13^2عدد اول است.
● 13+13+13/13+13*13+!13+13^13 و13+13+13/13+13*13+13^13 دو عدد پانزده رقمی اول هستند.
● 13جوابی برای معادله‌ی ديوفانتوسی (Diophantine Equation) z^2="x^3-y^3" است. يعنی؛ 3^7-3^8="2^13
● 13/(13+13+13+13+13+13+13+131313+13^13) عددی اول است كه شامل 13بار تركيباتی از عدد 13 است مثلا 131313سه بار 13 در آن آمده است.
● ماموريت قمر" آپولو 13" در مسير ماه بی نتيجه ماند علت انفجار در قسمتی از سفينه بود . نكته جالب اين است كه اين قمر در ساعت 13:13 پرتاب شده بود و اين اتفاق در 13 اوريل شكل گرفت. ( احتمالا روز جمعه!!!!!!!!)
● 13امين عدد اول مرسن عدد 1-521^2 و 13امين عدد لوكاس (Lucas Number) عدد521است.)اعداد لوكاس اعدادی هستند كه به نام رياضيدان فرانسوی EdouardLucasنامگذاری شده اند و در دنباله 1 و3و4و7 و11و.... قرار دارند اين دنباله به صورت ذيل ساخته می شود كه جمله اول 1 و دومين جمله 3 جمله های بعدی از مجموع دو جمله قبلی ساخته می شود مثلا جمله سوم مجموع جمله اول با دوم يعني 1+3 است.
● (13="(!3*!1)+(!3+!1)13" و 31تنها اعداد مرسن Emirp شناخته شده هستد.
● 13كوچكترين عدد اولی است كه به شكل p^2+pq+p نوشته می‌شود.
● معكوس ((1+13^13)^13) يك عدد Brilliantاست. ( به اعدادی Brilliantگويند كه دو فاكتور اول با طول يكسان دارند.)
 شايد خصوصيات جالب دیگری باشد که ما نمی دانیم        **  الله اعلم  **